Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，

侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中

BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（1）求证：PO⊥平面ABCD；

（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（2）（3）存在点Q满足题意，此时

解析:

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,

平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.   ……3分

(Ⅱ)解  以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得

A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

所以        …5分

所以异面直线PB与CD所成的角是余弦值为，     ………………7分

(Ⅲ)解  假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，

由(Ⅱ)知设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).

则所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).      …………………9分

设由，得解y=-或y=(舍去)，                         …………………11分

此时，所以存在点Q满足题意，此时。…12分