Question

已知函数f（x）=log₂x-1，对于满足0＜x₁＜x₂的任意实数x₁、x₂，给出下列结论：
①[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＜0；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：考察对数函数的性质，先判断函数在定义域上单调递增，函数图象为上凸函数，然后判断即可．

解答： 解：函数f（x）=log₂x-1在定义域（0，+∞）单调递增，
则对于满足0＜x₁＜x₂的任意实数x₁、x₂，给出下列结论：
①∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x_1^＞0，当∵[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＜0时，f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），函数单调递减，与题意函数单调递增矛盾，①错误，
②函数图象为上凸型函数，则

f(x2)

f(x1)

＞

x2

x1

⇒x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），②正确；
③f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁?

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1，即函数图象上任意两点连线的斜率都大于1，而求导得
f′（x）=

1

xln2

不恒大于1，③错误；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，函数图象为上凸函数，④正确，
故答案为：②④

点评：本题解题的关键在于数形结合，利用图象解题，这是高中数学中重要的思想方法．