Question

设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：存在4个函数f_i（x）（i=1，2，3，4）满足：
（1）对i=1，2，3，4，f_i（x）是偶函数，且对任意的实数x，有f_i（x+π）=f_i（x）；
（2）对任意的实数x，有f（x）=f₁（x）+f₂（x）cosx+f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x．

Answer 1

证明：记g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，则f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，对任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）．
令f1(x)=

g(x)+g(x+π)

2

，f2(x)=

g(x)-g(x+π) 2cosx x≠kπ+ π 2 0 x=kπ+ π 2

，f3(x)=

h(x)-h(x+π) 2sinx x≠kπ 0 x=kπ

，f4(x)=

h(x)+h(x+π) 2sin2x x≠ kπ 2 0 x= kπ 2

，其中k为任意整数．
则f_i（x），i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，f_i（x+π）=f_i（x），i=1，2，3，4．
下证对任意的x∈R，有f₁（x）+f₂（x）cosx=g（x）．
当x≠kπ+

π

2

（k∈Z）时，显然成立；
当x=kπ+

π

2

（k∈Z）时，因为f1(x)+f2(x)cosx=f1(x)=

g(x)+g(x+π)

2

，
而g(x+π)=g(kπ+

3π

2

)=g(kπ+

3π

2

-2(k+1)π)=g(-kπ-

π

2

)=g(kπ+

π

2

)=g(x)，故对任意的x∈R，f₁（x）+f₂（x）cosx=g（x）．
下证对任意的x∈R，有f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x=h（x）．
当x≠

kπ

2

（k∈Z）时，显然成立；
当x=kπ（k∈Z）时，h（x）=h（kπ）=h（kπ-2kπ）=h（-kπ）=-h（kπ），所以h（x）=h（kπ）=0，而此时f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x=0，故h（x）=f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x；
当x=kπ+

π

2

（k∈Z）时，h(x+π)=h(kπ+

3π

2

)=h(kπ+

3π

2

-2(k+1)π)=h(-kπ-

π

2

)=-h(kπ+

π

2

)=-h(x)，
故f3(x)sinx=

h(x)-h(x+π)

2

=h(x)，
又f₄（x）sin2x=0，从而有h（x）=f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x．
于是，对任意的x∈R，有f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x=h（x）．
综上所述，结论得证．