Question

（2012•眉山二模）对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点，且有如下零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点．给出下列命题：
①若函数y=f（x）有反函数，则f（x）有且仅有一个零点；
②函数f（x）=2x³-3x+1有3个零点；
③函数y=

x2

6

和y=|log₂x|的图象的交点有且只有一个；
④设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），且函数f（x）恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；
其中所有正确命题的序号为

②④

．（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①可通过举指数函数的例子来说明此命题是错误的；
②可研究函数的极值结合单调性判断出函数的图象与X轴的交点个数从而得出零点个数，即可判断命题的真假；
③构造函数f（x）=

x2

6

-|log₂x|，通过零点存在定理研究函数有几个零点，即可得出两函数有几个交点；
④函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），可得出函数的图象关于x=3对称，由对称性即可判断出命题的真假．

解答：解：①若函数y=f（x）有反函数，则f（x）有且仅有一个零点是错误的，譬如y=2^x，是单调函数，有反函数，但其函数值恒大于0，无零点；
②函数f（x）=2x³-3x+1有3个零点正确；由于f′（x）=6x²-3，可解得函数f（x）=2x³-3x+1在区间（-∞，-

2

2

）与（

2

2

，+∞）上是增函数，在（-

2

2

，

2

2

）是减函数，故函数存在极大值f（-

2

2

）＞0，极小值f（

2

2

）＜0，故函数有三个零点；
③函数y=

x2

6

和y=|log₂x|的图象的交点有且只有一个是错误的，可利用存在零点的条件f（a）f（b）＜0来解决这个问题，两函数图象的交点的横坐标就是函数f（x）=

x2

6

-|log₂x|的零点，
其中f（1）=

1

6

＞0，f（2）=-

1

3

＜0，f（4）=

2

3

＞0，所以在直线x=1右侧，函数有两个零点．一个在（1，2）内，一个在（2，4）内，故函数f（x）=

x2

6

-|log₂x|共有3个零点，即函数y=

x2

6

和y=|log₂x|的图象有3个交点．
④设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），且函数f（x）恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18是正确的，由函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），可得函数的图象关于x=3对称，又函数f（x）恰有6个不同的零点，此6个零点构成三组关于x=3对称的点，由中点坐标公式可得出这6个零点的和为18．
故答案为②④

点评：本题考查命题的真假判断及利用导数研究函数的零点，利用零点存在定理判断零点的个数，函数图象的对称性，涉及到的知识点较多，综合性强，属于基础知识与技巧训练题，解答时要严谨认真，全面掌握相关基础知识是迅速解题的保证