Question

设抛物线y²=4x上一点P到该抛物线准线与直线l：4x-3y+6=0的距离之和为d，若d取到最小值，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

分析：根据抛物线的定义可得 d=PM+PF，d的最小值就是焦点F到直线l的距离．此时，FM的斜率等于-

3

4

，
用点斜式设出FM的方程，代入抛物线y²=4x 求得点P的坐标．

解答：解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为 x=-1．设PM是点P到直线l的距离，根据抛物线的定义可得
点P到该抛物线准线距离和点P到焦点F的距离相等，故d=PM+PF，故当P、F、M三点共线时，d取到最小值．
此时，FM的斜率等于-

3

4

，故FM的方程为 y-0=-

3

4

 （x-1），代入抛物线y²=4x 求得点P的坐标为(

1

9

，

2

3

)，
故答案为：(

1

9

，

2

3

)．

点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用．判断当P、F、M三点共线时，d取到最小值，是解题的关键．