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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）是直线l：y=kx+b上的n个不同的点（n∈N*，k、b均为非零常数），其中数列{xn}为等差数列．
    （1）求证：数列{yn}是等差数列；
    （2）若点P是直线l上一点，且
    OP
    =a1
    OA1
    +a2
    OA2
    ，求证：a1+a2=1；
    （3）设a1+a2+…+an=1，且当i+j=n+1时，恒有ai=aj（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j）．试探索：在直线l上是否存在这样的点P，使得
    OP
    =a1
    OA1
    +a2
    OA2
    +…+an
    OAn
    成立？请说明你的理由．
    分析：（1）将yn+1和yn分别代入y=kx+b，令两者相减得定值，便可证明数列{yn}为等差数列；
    （2）由题中条件可知PA1A2共线，令
    A1P
    =λ 
    PA2
    ，即可证明a1+a2=1；
    （3）先写出满足条件的x的函数，再根据a1+a2+…+an=1和ai=aj及数列{xn}为等差数列等条件逐步化简，便可求出满足条件的P店坐标．
    解答：解：（1）证：设等差数列{xn}的公差为d，
    ∵yn+1-yn=（kxn+1+b）-（kxn+b）=k（xn+1-xn）=kd，
    ∴yn+1-yn为定值，即数列{yn}是等差数列；
    （2）证：因为P、A1和A2都是直线l上一点，故有
    A1P
    =λ 
    PA2
    （λ≠-1），
    于是，
    OP
    =
    OA1
    +
    A1P
    =
    OA1
    +λ
    PA2
    =
    OA1
    +λ（
    OA2
    -
    OP
    ），
    ∴（1+λ）
    OP
    =
    OA1
    +λ
    OA2

    ∴
    OP
    =
    1
    1+λ
    OA1
    +
    λ
    1+λ
    OA2
    ，
    令a1=
    1
    1+λ
    ，a2=
    λ
    1+λ
    ，则有a1+a2=1；
    （3）假设存在点P（x，y），满足要求
    OP
    =a1
    OA1
    +a2
    OA2
    +…+an
    OAn
    ，
    则有x=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn，
    又当i+j=n+1时，恒有ai=aj，
    则又有x=anx1+an-1x2+…+a2xn-1+a1xn，
    ∴2x=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+a3（x3+xn-2）+…+an（xn+x1），
    又∵数列{xn}为等差数列；
    于是x1+xn=x2+xn-1=x3+xn-2=…=xn+x1
    ∴2x=（a1+a2+a3+…+an）（x1+xn）=x1+xn
    故x=
    x1 +xn
    2
    ，同理y=
    y1+ yn
    2
    ，
    且点P（
    x1 +xn
    2
    ，
    y1+ yn
    2
    ）在直线上（是A1、An的中点），
    即存在点P（
    x1 +xn
    2
    ，
    y1+ yn
    2
    ）满足要求．
    点评：本题主要考查了等差数列与向量的综合运用，是各地高考的热点，综合性较强，考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练．
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    平面直角坐标系xOy中，已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）是直线l：y=kx+b上的n个点
    （n∈N*，k、b均为非零常数）．
    （1）若数列{xn}成等差数列，求证：数列{yn}也成等差数列；
    （2）若点P是直线l上一点，且
    OP
    =a1
    OA1
    +a2
    OA2
    ，求a1+a2的值；
    （3）若点P满足
    OP
    =a1
    OA1
    +a2
    OA2
    +…+an
    OAn
    ，我们称
    OP
    是向量
    OA1
    ，
    OA2
    ，…，
    OAn
    的线性组合，{an}是该线性组合的系数数列．当
    OP
    是向量
    OA1
    ，
    OA2
    ，…，
    OAn
    的线性组合时，请参考以下线索：
    ①系数数列{an}需满足怎样的条件，点P会落在直线l上？
    ②若点P落在直线l上，系数数列{an}会满足怎样的结论？
    ③能否根据你给出的系数数列{an}满足的条件，确定在直线l上的点P的个数或坐标？
    试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程．[本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分]．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    平面直角坐标系xOy中，已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）是直线l：y=kx+b上的n个点
    （n∈N*，k、b均为非零常数）．
    （1）若数列{xn}成等差数列，求证：数列{yn}也成等差数列；
    （2）若点P是直线l上一点，且数学公式，求a1+a2的值；
    （3）若点P满足数学公式，我们称数学公式是向量数学公式，数学公式，…，数学公式的线性组合，{an}是该线性组合的系数数列．当数学公式是向量数学公式，数学公式，…，数学公式的线性组合时，请参考以下线索：
    ①系数数列{an}需满足怎样的条件，点P会落在直线l上？
    ②若点P落在直线l上，系数数列{an}会满足怎样的结论？
    ③能否根据你给出的系数数列{an}满足的条件，确定在直线l上的点P的个数或坐标？
    试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程．[本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分]．

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    （n∈N*，k、b均为非零常数）．
    （1）若数列{xn}成等差数列，求证：数列{yn}也成等差数列；
    （2）若点P是直线l上一点，且，求a1+a2的值；
    （3）若点P满足，我们称是向量，，…，的线性组合，{an}是该线性组合的系数数列．当是向量，，…，的线性组合时，请参考以下线索：
    ①系数数列{an}需满足怎样的条件，点P会落在直线l上？
    ②若点P落在直线l上，系数数列{an}会满足怎样的结论？
    ③能否根据你给出的系数数列{an}满足的条件，确定在直线l上的点P的个数或坐标？
    试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程．[本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分]．

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