Question

已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直线l：y=kx+b上的n个不同的点（n∈N^*，k、b均为非零常数），其中数列{x_n}为等差数列．
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）若点P是直线l上一点，且，求证：a₁+a₂=1；
（3）设a₁+a₂+…+a_n=1，且当i+j=n+1时，恒有a_i=a_j（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j）．试探索：在直线l上是否存在这样的点P，使得成立？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）将y_n+1和y_n分别代入y=kx+b，令两者相减得定值，便可证明数列{y_n}为等差数列；
（2）由题中条件可知PA1A2共线，令，即可证明a₁+a₂=1；
（3）先写出满足条件的x的函数，再根据a₁+a₂+…+a_n=1和a_i=a_j及数列{x_n}为等差数列等条件逐步化简，便可求出满足条件的P店坐标．
解答：解：（1）证：设等差数列{x_n}的公差为d，
∵y_n+1-y_n=（kx_n+1+b）-（kx_n+b）=k（x_n+1-x_n）=kd，
∴y_n+1-y_n为定值，即数列{y_n}是等差数列；
（2）证：因为P、A₁和A₂都是直线l上一点，故有（λ≠-1），
于是，===+λ（），
∴（1+λ）=+λ
∴=+，
令a₁=，a₂=，则有a₁+a₂=1；
（3）假设存在点P（x，y），满足要求，
则有x=a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n，
又当i+j=n+1时，恒有a_i=a_j，
则又有x=a_nx₁+a_n-1x₂+…+a₂x_n-1+a₁x_n，
∴2x=a₁（x₁+x_n）+a₂（x₂+x_n-1）+a₃（x₃+x_n-2）+…+a_n（x_n+x₁），
又∵数列{x_n}为等差数列；
于是x₁+x_n=x₂+x_n-1=x₃+x_n-2=…=x_n+x₁
∴2x=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）（x₁+x_n）=x₁+x_n
故x=，同理y=，
且点P（，）在直线上（是A₁、A_n的中点），
即存在点P（，）满足要求．
点评：本题主要考查了等差数列与向量的综合运用，是各地高考的热点，综合性较强，考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练．