Question

已知f（x）=x²-2ax+3定义域为[-1，2]，求f（x）最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：分对称轴和闭区间的三种位置关系：轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间来讨论即可．

解答： 解：∵f（x）=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，对称轴是x=a，
①当a＜-1时，f（x）=x²-2ax+3在[-1，2]上是增函数，故最大值f（2）=7-4a，最小值f（-1）=3+2a；
②当a＞2时，f（x）=x²-2ax+3在[-1，2]上是减函数，故最大值f（-1）=3+2a，最小值f（2）=7-4a；
③当-1≤a≤2时，f（x）=x²-2ax+3在[-1，2]上先减后增，最小值f（a）=3-a²，
（1）-1≤a＜

1

2

，最大值f（2）=7-4a，
（2）

1

2

≤a≤2，最大值f（-1）=3+2a，
综上得，二次函数f（x）=x²-2ax+3在[-1，2]上的最大值f（a）=

7-4a，a＜ 1 2 3+2a，a≥ 1 2

；
最小值f（a）=

3+2a，a＜-1 7-4a，a＞2 3-a2，-1≤a≤2

．

点评：本题列出了二次函数的闭区间的最值问题，关键要正确讨论参数与区间的位置关系，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论．