Question

已知函数f(x)=(x³-6x²+3x+t)e^x，t∈R。
（Ⅰ）若函数y=f(x)依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取极值，求t的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f(x)≤x恒成立，求正整数m的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ），
∵f(x)有三个极值点，
∴有三个根a、b、c，
令，则，
∴g(x)在(-∞，-1)，(3，+∞)上递增，在(-1，3)上递减，
∵g(x)有三个零点，
∴g(-1) ＞0，g(3) ＜0，
∴-8＜t＜24，
即t的取值范围是（-8，24）。
（Ⅱ）不等式，
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式恒成立，
即不等式在x∈[1，m]上恒成立。
设，则，
设，则，
∵x∈[1，m]，∴＜0，
故r(x)在区间1，m]上是减函数，
又r(1)=4-e-1＞0，r(2)=2-e-2＞0，r(3)=-e-3＜0，
故存在，使得；
当时有，当时有；
从而在区间[1，]上递增，在区间[，+∞)上递减，
又，
 ，
∴当1≤x≤5时，恒ψ(x)＞0有；当x≥6时，恒有ψ(x)＜0，
故使命题成立的正整数m的最大值为5。