Question

已知下列命题四个命题：
①函数y=sin(

π

4

-2x)的单调递增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；
②若x是第一象限的角，则y=sinx是增函数；
③α，β∈(0，

π

2

)，且cosα＜sinβ，则α+β＞

π

2

；
④若sinx+siny=

1

3

，则siny-cos²x的最大值是

4

3

．
其中真命题的个数有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

①函数y=sin(

π

4

-2x)=-sin（2x-

π

4

），由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，得x∈[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，故函数y=sin(

π

4

-2x)的单调递增区间是[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，①错误；
②

π

3

＜2π+

π

6

，且均为第一象限角，但sin

π

3

＞sin（2π+

π

6

），故②错误；
③cosα＜sinβ，即sin（

π

2

-α）＜sinβ，∵α，β∈(0，

π

2

)，∴

π

2

-α∈(0，

π

2

)，y=sinx在(0，

π

2

)上单调递增，∴

π

2

-α＜β，即α+β＞

π

2

，③正确；
④siny-cos²x=

1

3

-sinx-1+sin²x=sin²x-sinx-

2

3

=（sinx-

1

2

）²-

11

12

，∵-1≤siny=

1

3

-sinx≤1，∴-

2

3

≤sinx≤1，∴当sinx=-

2

3

时，siny-cos²x的最大值是

4

9

，④错误
∴真命题只有③
故选 A