Question

已知下列命题四个命题：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0）上是增函数，θ∈(

π

4

，

π

2

)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要条件；
③设函数f（x）=x²+2（-2≤x＜0），其反函数为f^-1（x），则f^-1（3）=-1或1．
④在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b²+c²=a²+bc，则A=

π

3

．
其中真命题的个数有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①联系偶函数和增函数得到函数在[0，1]上为减函数，从而可以判断；
②因为A、B是三角形的内角，所以A，B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是减函数．由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案；
③欲求f^-1（3），根据原函数的反函数为f^-1（x）知，只要求满足于f（x）=3的x的值即可；
④根据余弦定理表示出cosA，把已知得等式变形后代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．

解答：解：①由已知可得函数在[0，1]上为减函数，∵θ∈(

π

4

，

π

2

)，∴1＞sinθ＞cosθ＞0，∴f（sinθ）＜f（cosθ），
故①错；
②∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是减函数，∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故②正确；
③令f（t）=3，则t=f^-1（3）（-2≤t＜0），所以有t²+2=3，所以t=±1，因为-2≤t＜0，所以t=-1，故③错误；
④∵b²+c²=a²+bc，∴a²=b²+c²-bc，
结合余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-(b2+c2-bc)

2bc

=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

，故④正确．
从而真命题有两个
故选B．

点评：本题的考点是命题的真假判断与应用，解题时需依据函数的性质，余弦定理一一判断，综合性强．