Question

已知下列命题四个命题：
①函数y=sin(

π

4

-2x)的单调递增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；
②若x是第一象限的角，则y=sinx是增函数；
③α，β∈(0，

π

2

)，且cosα＜sinβ，则α+β＞

π

2

；
④若sinx+siny=

1

3

，则siny-cos²x的最大值是

4

3

．
其中真命题的个数有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①先利用诱导公式将函数变形，再利用复合函数单调区间的求法，通过解不等式得其单调增区间；②ysinx在（2kπ，2kπ+

π

2

）上为增函数不同于在第一象限是增函数，注意区别；③先利用诱导公式将三角不等式两边化为同名函数且将角化到同一单调区间上，即可利用单调性得角的关系；④先将所求三角式化为关于sinx的二次函数，再求sinx的取值范围，进而利用二次函数的图象求函数的最大值即可

解答：解：①函数y=sin(

π

4

-2x)=-sin（2x-

π

4

），由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，得x∈[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，故函数y=sin(

π

4

-2x)的单调递增区间是[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，①错误；
②

π

3

＜2π+

π

6

，且均为第一象限角，但sin

π

3

＞sin（2π+

π

6

），故②错误；
③cosα＜sinβ，即sin（

π

2

-α）＜sinβ，∵α，β∈(0，

π

2

)，∴

π

2

-α∈(0，

π

2

)，y=sinx在(0，

π

2

)上单调递增，∴

π

2

-α＜β，即α+β＞

π

2

，③正确；
④siny-cos²x=

1

3

-sinx-1+sin²x=sin²x-sinx-

2

3

=（sinx-

1

2

）²-

11

12

，∵-1≤siny=

1

3

-sinx≤1，∴-

2

3

≤sinx≤1，∴当sinx=-

2

3

时，siny-cos²x的最大值是

4

9

，④错误
∴真命题只有③
故选 A

点评：本题综合考查了三角函数的图象和性质，诱导公式的运用，三角函数求值域的方法，及y=Asin（ωx+φ）型函数单调区间的求法等基础知识