Question

5．如图，某时刻点P与坐标原点O重合，将边长为2的等边三角形PAB沿x轴正方向滚动，设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），对任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[-$\frac{f（4）}{x}$+f（4）+$\frac{m}{2}$]在区间（t，3）上不是单调函数，则m的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{37}{3}$，-9）
• B． （-∞，-$\frac{37}{3}$）
• C． （-$\frac{37}{3}$，-5）
• D． （-9，-5）

Answer 1

分析 确定f（4）=2，可得g（x），求导g′（x）=3x²+（m+4）x-2，从而转化为零点的存在性问题．

解答 解：根据题意画出顶点P（x，y）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．

从图形中可以看出，f（4）=2，
∴g（x）=x³+x²[-$\frac{f（4）}{x}$+f（4）+$\frac{m}{2}$]=g（x）=x³+（2+$\frac{m}{2}$）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2；
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2； 
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0；
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（1）＜0}\\{g′（2）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$．
∴-$\frac{37}{3}$＜m＜-9，
故选：A．

点评 本题考查轨迹问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的解析式是关键．