Question

17．由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等，则这个角的余弦值为-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 构造正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则∠AOD就为所求的角，由此能求出这个角的余弦值．

解答 解：如图，正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，
则∠AOD就为所求的角，
设正四面体ABCD的棱长为a，
作AE⊥面BCD，垂足为E，作BF⊥CD，交CD于F，则O∈AE，E∈AF，连结AF，
则BF=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，BE=$\frac{2}{3}BF=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，AE=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$，
设OA=OB=r，则OE=$\frac{\sqrt{6}}{3}a-r$，
则${r}^{2}=（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{3}a-r）^{2}$，
解得r=$\frac{\sqrt{6}}{4}a$，
∴cos∠AOD=$\frac{O{A}^{2}+O{D}^{2}-A{D}^{2}}{2OA•OD}$=$\frac{\frac{3}{8}{a}^{2}+\frac{3}{8}{a}^{2}-{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{4}a×\frac{\sqrt{6}}{4}a}$=-$\frac{1}{3}$．
∴这个角的余弦值为-$\frac{1}{3}$．
故答案为：-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、余弦定理的合理运用．