Question

已知函数f（x）=log₂（x+a）+1过点（4，4）．
（1）求实数a；
（2）将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向右平移a个单位后得到函数g（x）图象，设函数g（x）关于y轴对称的函数为h（x），试求h（x）的解析式；
（3）对于定义在（-4，0）上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]²＞h（x）m-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，log₂（4+a）+1=4，由此求得a的值．
（2）由（1）可得f（x）=log₂（x+4）+1，再根据函数图象的平移变换规律求得，函数g（x）的解析式，
再根据函数g（x）关于y轴对称的函数为h（x），求得h（x）的解析式．
（3）由题意可得(log2(-x)+2)2＞mlog2(-x)-1在（-4，0）恒成立，设t=log₂（-x），则t＜2，t²+（4-m）t+5＞0，在t＜2时恒成立．令g（t）=t²+（4-m）t+5，则

m-2 2 ≤2 △=(4-m)2-20＜0

，或

m-2 2 ＞2 g(2)=17-2m≥0

，分别求得这2个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）由已知可得，log₂（4+a）+1=4，解得 a=4．
（2）由（1）可得f（x）=log₂（x+4）+1，向下平移1个单位后再向右平移4个单位后，
得到函数g（x）=log₂x．
由于函数g（x）关于y轴对称的函数为h（x），
∴h（x）=log₂（-x）（x＜0）．
（3）∵(log2(-x)+2)2＞mlog2(-x)-1在（-4，0）恒成立，
∴设t=log₂（-x）（-4＜x＜0），则t＜2，
∴（t+2）²＞tm-1，即：t²+（4-m）t+5＞0，在t＜2时恒成立．
令g（t）=t²+（4-m）t+5，
∴

m-2 2 ≤2 △=(4-m)2-20＜0

，或

m-2 2 ＞2 g(2)=17-2m≥0

，
解得 4-2

5

＜m≤6，或8＜m≤

17

2

，
综合得：4-2

5

＜m≤

17

2

．

点评：本题主要考查函数的图象的平移变换规律，函数的恒成立问题，二次函数的性质应用，属于中档题．