Question

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量

a

=(-p，0)平移到直线l，N为l上的动点．
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）求

NA

•

NB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，再由已知条件，得到抛物线的方程；
（2）设直线l的方程及N点坐标和A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量坐标运算，求得

NA

•

NB

的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值．

解答：解：（1）由条件知lAB：y=x-

p

2

，则

y=x- p 2 y2=2px

，消
去y得：x2-3px+

1

4

p2=0，则x₁+x₂=3p，
由抛物线定义得|AB|=x₁+x₂+p=4p
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y²=4x．
（2）直线l的方程为：y=x+

p

2

，于是设N(x0，x0+

p

2

)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则

NA

=(x1-x0，y1-x0-

p

2

)，

NB

=(x2，y2-x0-

P

2

)
即

NA

•

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

2 0

+y1y2-(x0+

p

2

)(y1+y2)+(x0+

p

2

)2
由第（1）问的解答结合直线方程，不难得出x1+x2=3p，x1x2=

1

4

p2
且y₁+y₂=x₁+x₂-p=2p，y1y2=(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)=-p2
则

NA

•

NB

=2

x

2 0

-4px0-

3

2

p2=2(x0-p)2-

7

2

p2
当x0=

p

2

时，

NA

•

NB

的最小值为-

7

2

p2

点评：此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算．