Question

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，M为抛物线弧AB上的动点．
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）求S_△ABM的最大值．

Answer 1

分析：（1）先联立直线方程和抛物线方程，得到x₁+x₂的值，再根据抛物线定义，得到焦点弦的弦长公式，
代入并解得p，从而求得抛物线的方程为y²=4x．
（2）设M(

y 2 0

2p

，y0)，根据直线AB的方程得到用y₀和p表示的点M到AB的距离d．又根据点M在直线AB的上方
解得y₀的范围，即求出了d的最大值，再代入面积公式，可求得S_△ABM的最大值．

解答：解：（1）由条件知lAB：y=x-

p

2

，则

y=x- p 2 y2=2px

，
消去y得：x2-3px+

1

4

p2=0，
则x₁+x₂=3p，由抛物线定义得|AB|=x₁+x₂+p=4p
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y²=4x．
（2）由（1）知|AB|=4p和lAB：y=x-

p

2

，设M(

y 2 0

2p

，y0)，
则M到AB的距离为：d=

|- 1 2p y 2 0 +y0+ p 2 |

2

，
因点M在直线AB的上方，所以-

1

2p

y

2 0

+y0+

P

2

＞0
则d=

2

2

(-

1

2p

y

2 0

+y0+

p

2

)=

2

2

[-

1

2p

(y0-p)2+p]
由x2-3px+

1

4

p2=0知A(

3-2 2

2

p，(1-

2

)p)，B(

3+2 2

2

p，(1+

2

)p)
所以(1-

2

)p＜y0＜(1+

2

)p，则当y₀=p时，dmax=

2

2

p
则(S△ABM)max=

1

2

•4p•

2

2

p=

2

p2

点评：本题考查抛物线的定义，及焦点弦公式，关键是点到直线的距离公式的灵活运用和抛物线上点坐标的巧妙设法．