Question

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量

a

=(-p，0)平移得到直线l，N为l上的动点，M为抛物线弧AB上的动点．
（Ⅰ） 若|AB|=8，求抛物线方程．
（Ⅱ）求S_△ABM的最大值．
（Ⅲ）求

NA

•

NB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用韦达定理及抛物线的定义，计算弦长，即可求得抛物线的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p，故求S_△ABM的最大值，即求M到AB距离的最大值；
（Ⅲ）利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求

NA

•

NB

的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由条件知lAB：y=x-

p

2

，则

y=x- p 2 y2=2px

，消去x得：x2-3px+

1

4

p2=0①，则x₁+x₂=3p，
由抛物线定义|AB|=x₁+x₂+p=4p，
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线方程为y²=4x．---------------------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p和lAB：y=x-

p

2

，设M(

y 2 0

2p

，y0)，
则M到AB距离：d=

|- 1 2p y 2 0 +y0+ p 2 |

2

，因M，O在直线AB的同侧，所以-

1

2p

y

2 0

+y0+

p

2

＞0，
则d=

2

2

(-

1

2p

y

2 0

+y0+

p

2

)，即d=

2

2

[-

1

2p

(y0-p)2+p]，
由①知A(

3-2 2

2

p，(1-

2

)p)，B(

3+2 2

2

p，(1+

2

)p)
所以(1-

2

)p＜y0＜(1+

2

)p，则当y₀=p时，dmax=

2

2

p，
则(S△ABM)max=

1

2

•4p•

2

2

p=

2

p2．---------------------------------------（8分）
（Ⅲ）设N(x0，x0+

p

2

)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

NA

=(x1-x0，y1-x0-

p

2

)，

NB

=(x2-x0，y2-x0-

p

2

)，
即

NA

•

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

2 0

+y1y2-(x0+

p

2

)(y1+y2)+(x0+

p

2

)2
由①知x₁+x₂=3p，x1x2=

1

4

p2，y1y2=-p2，y₁+y₂=2p，则

NA

•

NB

=2

x

2 0

-4px0-

3

2

p2，
即

NA

•

NB

=2(x0-p)2-

7

2

p2，当x₀=p时，

NA

•

NB

的最小值为-

7

2

p2．
（其它方法酌情给分）---------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查抛物线的弦长计算，考查三角形面积，考查向量知识，解题的关键是正确运用抛物线的定义，属于中档题．