Question

一个球与上底面边长为4，下底面边长为8的正四棱台各面都相切，则球的体积与正四棱台的体积之比为（　　）

• A、π：6
• B、π：7
• C、π：8
• D、π：9

Answer 1

分析：设内切球的半径为 r，则正四棱台的高为2r，由圆的切线性质可得正四棱台的斜高等于6，再由勾股定理得 2r，可得r，
代入体积公式运算．

解答：解：设内切球的半径为 r，则正四棱台的高为2r，由圆的切线性质可得正四棱台的斜高为2+4=6，
再由勾股定理得 2r=

36-4

=4

2

，r=2

2

．
求得体积为

4π

3

r³=

64 2 π

3

，正四棱台的体积等于

2r

3

[s+

ss′

+s′]=

4 2

3

[16+32+64]=

448 2

3

，
∴球的体积与正四棱台的体积之比为 

64 2 π 3

448 2 3

=

π

7

，
故选 B．

点评：本题考查棱台的结构特征，圆的切线性质，球及棱台体积的运算．