Question

设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，
（1）证明：|

1

3

a+

1

6

b|＜

1

4

；
（2）比较|1-4ab|与2|a-b|的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：不等式的证明,绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|

1

3

a+

1

6

b|＜

1

4

；
（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1-4ab|与2|a-b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．

解答： 解：（1）记f（x）=|x-1|-|x+2|=

3，x≤-1 -2x-1，-1＜x＜1 -3，x≥1

由-2＜-2x-1＜0解得-

1

2

＜x＜

1

2

，则M=（-

1

2

，

1

2

）．…（3分）
∵a、b∈M，∴|a|＜

1

2

，|b|＜

1

2

所以|

1

3

a+

1

6

b|≤

1

3

|a|+

1

6

|b|＜

1

3

×

1

2

+

1

6

×

1

2

=

1

4

．…（6分）
（2）由（1）得a²＜

1

4

，b²＜

1

4

．
因为|1-4ab|²-4|a-b|²=（1-8ab+16a²b²）-4（a²-2ab+b²）
=（4a²-1）（4b²-1）＞0，…（9分）
所以|1-4ab|²＞4|a-b|²，故|1-4ab|＞2|a-b|．…（10分）

点评：本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．