Question

如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在直线AC上，斜边中点为M（2，0）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）若动圆P过点N（-2，0），且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）先求出AC边所在直线的方程，再求出B，C的坐标，即可求BC边所在直线的方程；
（2）求出Rt△ABC外接圆的方程，设出动圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由于⊙P与⊙M相交，则公共弦所在直线的方程m为：（4-2a）x-2by+a²+b²-r²+4=0，利用公共弦长为4，可得r=

(a+2)2+b2

=

4a2+4

，即可求动圆P中半径最小的圆方程．

解答： 解：（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为-3．
故AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．
设C为（x₀，-3x₀-2），
因为M为BC中点，
所以B（4-x₀，3x₀+2）．
点B代入x-3y-6=0，解得x₀=-

4

5

，所以C（-

4

5

，

2

5

）．
所以BC所在直线方程为：x+7y-2=0．
（2）因为Rt△ABC斜边中点为M（2，0），所以M为Rt△ABC外接圆的圆心．
又AM=2

2

，从而Rt△ABC外接圆的方程为（x-2）²+y²=8．
设P（a，b），因为动圆P过点N，所以该圆的半径r=

(a+2)2+b2

，圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²．
由于⊙P与⊙M相交，则公共弦所在直线的方程m为：（4-2a）x-2by+a²+b²-r²+4=0．
因为公共弦长为4，r=2

2

，所以M（2，0）到m的距离d=2，即

|2(4-2a)+a2+b2-r2+4|

2 (2-a)2+b2

=2，
化简得b²=3a²-4a，所以r=

(a+2)2+b2

=

4a2+4

．
当a=0时，r最小值为2，此时b=0，圆的方程为x²+y²=4．

点评：本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．