Question

已知函数f（x）=2sinx+2

3

cosx，（x∈R）
①求函数f（x）的最大值和最小值；
②求f（x）的单调递区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简整理，利用三角函数的性质求得函数的最大和最小值．
（2）利用（1）的函数解析式，利用三角函数的性质和图象求得函数的单调增和单调减区间．

解答： 解：（1）f（x）=2sinx+2

3

cosx=4（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=4sin（x+

π

3

），
∵1≤sin（x+

π

3

）≤1
∴-4≤4sin（x+

π

3

）≤4
即函数f（x）的最大值为4，最小值为-4
（2）当2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

时，即2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

时，k∈Z，
函数单调增，
∴函数的单调增区间为[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]（k∈Z），
当2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

时，即2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

时，k∈Z，函数单调减，
∴函数f（x）的单调减区间为[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]（．k∈Z）．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．在解决三角函数问题时，常与三角函数图象结合，利用数形结合的方法来解决问．