Question

已知命题p：“函数y=f（x）的图象关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”．
（1）试判断命题p的真假？并说明理由；
（2）设函数g（x）=x³-3x²，求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（3）试判断“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”是“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”成立的什么条件？请说明理由．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数对称性和奇偶性的定义即可判断命题p的真假；
（2）根据（1）的结论，即可求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（3）根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件的关系即可进行判断．

解答： 解：（1）命题p为真命题；
充分性：若y=f（x+a）-b为奇函数，则f（a-x）-b=-f（a+x）+b
即f（a-x）+f（a+x）=2b
设M（x，y）为f（x）图象上任一点，则M关于（a，b）的对称点为N（2a-x，2b-y），
∵f（2a-x）=f（a+（a-x））=2b-f（a-（a-x）），
∴N在y=f（x）图象上，即f（x）的图象上，即f（x）的图象关于（a，b）对称
必要性：若y=f（x）的图象关于（a，b）
设M（x，y）为f（x）图象上任一点，则由上知：f（2a-x）=2b-f（x）
令x取x+a，则f（a-x）+f（a+x）=2b
即f（-x+a）-b=-f（a+x）+b∴y=f（x+a）-b为奇函数
综上命题为真．
（2）设函数f（x）=g（x+a）-b为奇函数，
则f（x）=（x+a）³-3（x+a）²-b=x³+（3a-3）x²+（3a²-6a）x+a³-3a²-b
∵f（x）=g（x+a）-b为奇函数，则

3a-3=0 a3-3a2-b=0

，即

a=1 b=-2

由命题p为真命题，则函数g（x）=x³-3x²的图象对称中心为（1，-2），
（3）若存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数，则可以通过上下平移和左右平移，即可得到
y=f（x）的图象，此时“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”成立，
若函数y=f（x）的图象关于y=x成轴对称图象，则无论怎么平移都无法平移到关于y轴对称，即必要性不成立，
故“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”是“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”成立的充分不必要条件条件．

点评：本题主要考查函数奇偶性和对称性是应用，以及命题的真假判断，综合性较强，有一定的难度．