Question

三角形ABC中，三内角为A、B、C，

a

=（

3

cosA，sinA），

b

=（cosB，

3

sinB），

c

=（1，-1）．
（1）若

a

•

c

=1，求角A的大小；
（2）若

a

∥

b

，求当A-B取最大时，A的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：平面向量及应用

分析：（1）首先，根据

a

•

c

=1，得到cos（A+

π

6

）=

1

2

，然后，结合A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），从而确定A=

π

6

；
（2）根据

a

∥

b

，得到

3

cosA•

3

sinB=sinA•cosB，即tanA=3tanB，然后，再结合两角差的正切公式进行求解即可．

解答： 解：（1）∵

a

•

c

=

3

cosA-sinA=2cos（A+

π

6

）=1，
∴cos（A+

π

6

）=

1

2

．
∵A∈（0，π），
则A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
则A+

π

6

=

π

3

，则A=

π

6

．
（2）∵

a

∥

b

，
∴

3

cosA•

3

sinB=sinA•cosB，
则tanA=3tanB．
由于A、B为三角形内角，
则A、B只能均为锐角，即tanA＞0，tanB＞0．
tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanA•tanB

=

2tanB

1+3tan2B

=

2

1 tanB +3tanB

≤

2

2 3

=

3

3

，
当且仅当

1

tanB

=3tanB时，B=

π

6

取“=”号．
又A-B∈（-

π

2

，

π

2

），
则A-B的最大值为

π

6

，此时A=

π

3

．
∴当A-B的最大时，A=

π

3

．

点评：本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．