Question

（1）已知sinθ+cosθ=-

1

5

，求sin2θ的值；
（2）已知cos2α=

4

5

，求sin⁴α-cos⁴α的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，再利用基本关系化简求出2sinθcosθ的值，即可求出sin2θ的值；
（2）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cos²α-sin²α的值，所求式子提取-1变形后，利用平方差公式及基本关系化简，将cos²α-sin²α的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）将已知等式两边平方得：（sinθ+cosθ）²=sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1+2sinθcosθ=

1

25

，即2sinθcosθ=-

24

25

，
则sin2θ=2sinθcosθ=-

24

25

；
（2）∵cos2α=cos²α-sin²α=

4

5

，
∴sin⁴α-cos⁴α=-（cos⁴α-sin⁴α）=-（cos²α-sin²α）（cos²α+sin²α）=-（cos²α-sin²α）=-

4

5

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．