Question

【题目】已知数列中，，且点（）在直线上.

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意的，将数列落入区间内的项的个数记为，求的通项公式；

（3）对于（2）中，记，数列前项和为，求使等式成立的所有正整数、的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据在直线上可知数列为等差数列,结合即可求得通项公式.

（2）根据等差数列的通项公式,代入区间即可求得中间的项数,即可求得的通项公式；

（3）将的通项公式代入,求得数列的通项公式,根据数列为等比数列可求得,代入等式即可求得正整数、的值.

（1）因为点在直线上

所以即

所以数列为等差数列,且公差

又因为

即

所以

所以数列的通项公式为

所以

（2）因为

数列落入区间内的项的个数记为

所以即

所以项数为

即

（3）因为,代入

可得

所以

所以数列是以为公比的等比数列

则前项和

因为等式成立

所以

化简可得

所以当且仅当时成立