Question

【题目】将数列的前项分成两部分，且两部分的项数分别是，若两部分和相等，则称数列的前项的和能够进行等和分割.

（1）若，试写出数列的前项和所有等和分割；

（2）求证：等差数列的前项的和能够进行等和分割；

（3）若数列的通项公式为：，且数列的前项的和能够进行等和分割，求所有满足条件的.

Answer 1

【答案】（1）或； （2）见解析； （3）或.

【解析】

（1）直接利用数列的通项公式分别计算出前四项的大小，再进行等和分割，即可求解；

（2）根据等差数列的性质可以得到，进而可以得出前项与后项的和相等；

（3）根据数列的通项公式求出前n项和，分别讨论或时满足等和分割条件的结果.

（1）由题意，数列，

可得，

则或.

（2）由数列为等差数列，所以，

将上述个两式子分成两部分，可得其和是相等的，

所以等差数列的前项的和能够进行等和分割.

（3）数列的通项公式为：，且数列的前项的和能够进行等和分割，

可得为偶数，所以或，

当时，由（2）可知，数列可以进行等和分割；

当时，可首先考虑，

则可分割成两部分，所以，

即时，前项能进行等和分割，

当时，前项为，

由（2）可得能分成等和的两部分，

分别把两部分进行加入，可得两部分和相等，

即或.