Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．
（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
（3）当f（x）取得最大值时，求二面角D﹣BF﹣C的余弦值．

Answer 1

证明：（1）∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∵，
∴AE⊥EF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E﹣xyz．
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G为BC的中点，BC=4，∴BG=2．
则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
∴=（﹣2，2，2），=（2，2，0），=（﹣2，2，2）（2，2，0）=0，
∴BD⊥EG．
解：（2）∵AD∥面BFC，所以
f（x）=V _D﹣BCF=V _A﹣BFC==
                            =，
即x=2时f（x）有最大值为．
（3）设平面DBF的法向量为，
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0），
∴，=（﹣2，2，2），则
，即，
取x=3，y=2，z=1，
∴
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF一个法向量为，则
cos＜＞=，
由于所求二面角D﹣BF﹣C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为﹣．