Question

设函数f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）求：f（-1），f（-2）的值；
（3）当x＜0时，判断函数f（x）的单调性并证明．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先由奇函数定义求c，然后利用f（1）=2，f（2）＜3，求b的取值范围，最后通过a、b、c∈Z求a、b、c的值；
（2）根据（1）求出的解析式，求出f（-1），f（-2）的值；
（3）根据解析式判断出当x＜0时函数f（x）的单调性，再利用函数的单调性定义进行证明．

解答： 解：（1）解：由f（-x）=-f（x），得-bx+c=-（bx+c），
∴c=0．
由f（1）=2，得a+1=2b①
由f（2）＜3，得

4a+1

2b

＜3②
由①②得

8b-3

2b

＜3，得0＜b＜

3

2

，
又a，b，c是整数，所以b=1，即a=1，
则a=b=1，c=0；
（2）由（1）得，f(x)=

x2+1

x

，所以f（-1）=-2，f（-2）=

4+1

-2

=-

5

2

；
（3）由（1）得，f(x)=

x2+1

x

，则（-∞，-1）是增区间，（-1，0）是减区间，
任取x₁，x₂∈（∞，-1），且x₁＜x₂＜-1，则
f（x₁）-f（x₂）=

x12+1

x1

-

x22+1

x2

=

x2(x12+1)-x1(x22+1)

x1x2

=

(x2 -x1)(x1x2 -1)

x1x2

，
∵x₁＜x₂＜-1
∴x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增，
同理可证f（x）在（-1，0）上单调递减．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，及函数的单调性的判断与证明，考查学生的计算化简能力，属于中档题．