Question

f（x）=ax³+3x²-1（a≠0），若a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=3有三个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的极值，由题意可得函数的极大值＞3即可满足函数f（x）的图象与直线y=3有三个不同的交点解，问题得以解决

解答： 解：∵f（x）=ax³+3x²-1，
∴f′（x）=3ax²+6x=3x（ax+2）
令f′（x）=0解得x₁=0，x₂=-

2

a

＞0 （a＜0），
当f′（x）＞0时，即x＞-

2

a

或x＜0，函数单调递减，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜-

2

a

，函数单调递增，
当x=0时函数有极小值，f（0）=-1，当x=-

2

a

函数有极大值，f（-

2

a

）=

4

a2

-1，
∵a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=3有三个不同的交点，
∴

4

a2

-1＞3
解得-1＜a＜0
故实数a的取值范围是（-1，0）

点评：本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性和三次多项式函数的零点问题，属于中档题．