Question

如图，F₁，F₂是分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与△PF₁F₂三边所在的直线都相切，切点为A，B，C，若|PB|=a，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、

  3

• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：连接AC，AD，AF₁，由直线和圆相切的性质，可得PC=PB=a，设BF₂=DF₂=x，运用双曲线的定义，求得PF₁，再由
圆外一点作圆的切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．

解答： 解：连接AC，AD，AF₁，
由直线和圆相切的性质，可得PC=PB=a，设BF₂=DF₂=x，
由双曲线的定义可得，PF₁-PF₂=2a，
则PF₁=3a+x，F₁C=4a+x，F₁D=F₁F₂+F₂D=2c+x，
由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，
即有4a+x=2c+x，即c=2a，
e=

c

a

=2．
故选B．

点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查直线和圆相切的性质，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．