Question

求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36有公共焦点；
（2）经过点A（2，

2

）和点B（

6

，1）．

Answer 1

分析：（1）由椭圆9x²+4y²=36的焦点为F（0，±

5

），设所求椭圆的方程为

x2

a2-5

+

y2

a2

=1，把点（2，-3）代入，得

4

a2-5

+

9

a2

=1，由此能求出椭圆方程．
（2）设所求的椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），由椭圆经过点A（2，

2

）和点B（

6

，1），知

4m+2n=1 6m+n=1

，由此能求出椭圆方程．

解答：解：（1）∵椭圆9x²+4y²=36的焦点为F（0，±

5

），
∴设所求椭圆的方程为

x2

a2-5

+

y2

a2

=1，
把点（2，-3）代入，得

4

a2-5

+

9

a2

=1，
整理，得a⁴-18a²+45=0，
解得a²=15，或a²=3（舍）．
∴所求的椭圆方程为

x2

10

+

y2

15

=1．
（2）设所求的椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n）
∵椭圆经过点A（2，

2

）和点B（

6

，1），
∴

4m+2n=1 6m+n=1

，
解得m=

1

8

，n=

1

4

，
∴所求的椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．