Question

求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在坐标轴上，且经过两点P(

1

3

，

1

3

)，Q(0，-

1

2

)；
（2）经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36具有共同的焦点．

Answer 1

分析：（1）解法1：利用待定系数法，分类讨论，解方程组，可求椭圆的标准方程；
解法2：设所求椭圆的标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），解方程组，可求椭圆的标准方程；
（2）设出与椭圆9x²+4y²=36具有共同的焦点的椭圆方程，将（2，-3）代入，即可求得椭圆的标准方程．

解答：解：（1）解法1：①当所求椭圆的焦点在x轴上时，设它的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，依题意应有

( 1 3 )2 a2 + ( 1 3 )2 b2 =1 (- 1 2 )2 b2 =1

，解得

a2= 1 5 b2= 1 4

，因为a＞b从而方程组无解；
②当所求椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，依题意应有

( 1 3 )2 a2 + ( 1 3 )2 b2 =1 (- 1 2 )2 a2 =1

，解得

a2= 1 4 b2= 1 5

，所以所求椭圆的标准方程为

y2

1 4

+

x2

1 5

=1．
故所求椭圆的标准方程为

y2

1 4

+

x2

1 5

=1．
解法2：设所求椭圆的标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），依题意得

1 9 m+ 1 9 n=1 1 4 n=1

，解得

m=5 n=4

，从而所求椭圆的标准方程为

y2

1 4

+

x2

1 5

=1．
（2）∵椭圆9x²+4y²=36的焦点坐标为(0，±

5

)，从而可设所求椭圆的方程为

x2

λ

+

y2

λ+5

=1(λ＞0)，
又∵经过点（2，-3），从而得

4

λ

+

9

λ+5

=1，解得λ=10或λ=-2（舍去），
故所求椭圆的标准方程为

x2

10

+

y2

15

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查待定系数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．