Question

18、平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2-n+2个区域．

Answer 1

分析：直接利用数学归纳法的证明方法，验证n=1时命题成立，然后假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立即可．

解答：证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12-1+2=2，命题成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，命题成立，即k个圆把平面分成k2-k+2个区域．
当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，
共有k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2个区域．
∴n=k+1时，命题也成立．
由（1）、（2）知，对任意的n∈N*，命题都成立．

点评：本题是基础题，考查数学归纳法的证明方法，注意n=k+1的证明过程，增加了2k个区域，这是证明的关键所在，两个步骤缺一不可．