Question

平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆把平面分成n²－n+2部分.

Answer 1

证明：（1）当n=1时，1个圆把平面分成两部分，而2=1²－1+2，所以n=1时命题成立.

（2）假设n=k时命题成立，即k个圆把平面分成k²－k+2部分.

第k+1个圆把k个圆分成2k条弧，每条弧都把它们所在的区域分成两部分，因此，比k个圆时共增加了2k部分，即k²－k+2+2k=k²+k+2=（k+1）²－（k+1）+2.于是n=k+1时，命题成立.

由（1）（2）知对于所有n∈N^*，命题成立.