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平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且无任何三个圆相交于一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分.

分析:问题的难点是在假设n=k时,k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分,那么当n=k+1时,平面增加几部分.此时第k+1个圆与前面k个圆有2k个交点,这2k个交点将第k+1个圆分成2k段,每段将各自所在的区域一分为二,因此增加了2k个部分.

证明:(1)当n=1时,一个圆将平面分成二部分,且f(1)=12-1+2=2,因此,n=1时命题成立.

    (2)假设n=k时,命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分,如果增加一个满足条件的任一个圆,则这个圆必与前k个圆交于2k个点,这2k个点把这个圆分成2k段弧,每段弧把它所在的原有平面分成为两部分,因此,这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分,即

f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k

=(k+1)2-(k+1)+2,

即当n=k+1时,命题亦成立.

根据(1)(2)可知,n个圆将平面分成了f(n)=n2-n+2部分.

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