Question

设f(

a+2b

3

)=

f(a)+2f(b)

3

，且f（1）=1，f（4）=7，则f（2014）=（　　）

• A、4026
• B、4029
• C、4028
• D、4027

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得a=4，b=1，f（2）=f（

4+2×1

3

）=

f(4)+2f(1)

3

=3，a=1，b=4，f（3）=f[（

1+2×4

3

）=

f(1)+2f(4)

3

=5，从而f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，…，f（n）=2n-1，由此能求出f（2014）=2×2014-1=4027．

解答： 解：f(

a+2b

3

)=

f(a)+2f(b)

3

，且f（1）=1，f（4）=7，
∴a=4，b=1，f（2）=f（

4+2×1

3

）=

f(4)+2f(1)

3

=3，
a=1，b=4，f（3）=f[（

1+2×4

3

）=

f(1)+2f(4)

3

=5，
f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，…，f（n）=2n-1，
证明可用归纳法：设f（n）=2n-1，则f（n-1）=f（

(n+1)+2(n-2)

3

）=

1

3

[f（n+1）+2f（n-2）]=2（n-1）-1=2n-3，
所以f（n+1）=3f（n-1）-2f（n-2）=3（2n-3）-2[2（n-2）-1]=6n-9-（4n-10）=2n+1=2（n+1）-1
f（2014）=2×2014-1=4027．
故选：D．

点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．