Question

给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，
命题乙：函数y=（2a²-a）^x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
（1）甲、乙至少有一个是真命题；
（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．

Answer 1

分析：根据二次函数的图象和性质可以求出命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅为真命题时，a的取值范围A，根据对数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题乙：函数y=（2a²-a）^x为增函数为真命题时，a的取值范围B．
（1）若甲、乙至少有一个是真命题，则A∪B即为所求
（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题，则（A∩C_UB）∪（C_UA∩B）即为所求．

解答：解：若命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅为真命题
则△=（a-1）²x-4a²=-3a²-2a+1＜0
即3a²+2a-1＞0，
解得A={a|a＜-1，或a＞

1

3

}
若命题乙：函数y=（2a²-a）^x为增函数为真命题
则2a²-a＞1
即2a²-a-1＞0
解得B={a|a＜-

1

2

，或a＞1}
（1）若甲、乙至少有一个是真命题
则A∪B={a|a＜-

1

2

或a＞

1

3

}；
（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题
（A∩C_UB）∪（C_UA∩B）={a|

1

3

＜a≤1或-1≤a＜-

1

2

}．

点评：本题以复合命题的真假判断为载体考查了函数的性质，其中分析出命题甲乙为真时，a的取值范围，是解答的关键．