Question

给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为φ；
命题乙：不等式2a²-a＞log₂x对任意x∈（0，2]恒成立，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
（1）甲、乙至少有一个是真命题；
（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．

Answer 1

分析：（1）分别求出令命题甲为真命题时，a的取值范围集合A，和命题乙为真命题时，a的取值范围集合B，若甲、乙至少有一个是真命题，则求两条件范围并集A∪B即可．
（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题．则求出（A∩CuB）∪（CuA∩B）即可．

解答：解：若命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为φ为真命题，
则△=（a-1）²-4a²＜0
解得：a＜-1，或a＞

1

3

若命题乙：不等式2a²-a＞log₂x对任意x∈（0，2]恒成立，
则2a²-a＞1
解得a＜-

1

2

，或a＞1
（1）若甲、乙至少有一个是真命题
则a＜-

1

2

，或a＞

1

3

（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题
则

1

3

＜a≤1，或-1≤a＜-

1

2

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数恒成立问题，一元二次不等式的解法，其中分别求出命题甲为真命题时，a的取值范围集合A，和命题乙为真命题时，a的取值范围集合B，是解答本题的关键．