Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，n∈N^*，则数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}前n项和T_n=$\sqrt{n+1}$-1．

Answer 1

分析 由数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，n∈N^*，利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出a_n=n，再由$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}前n项和T_n．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，n∈N^*，
∴${a}_{1}={S}_{n}=\frac{{1}^{2}+1}{2}$=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}-\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，
n=1时，上式成立，
∴a_n=n．
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴T_n=$\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+…+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$=$\sqrt{n+1}-1$．
故答案为：$\sqrt{n+1}-1$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$和裂项求和法的合理运用．