Question

12．设函数F（x）=f（x）+f（-x），x∈R，其中[-1，-$\frac{1}{2}$]是函数F（x）的一个单调递增区间，将函数 F（x）的图象向右平移1个单位，得到一个新的函数G（x）的图象，则G（x）的一个单调递减区间是[$\frac{3}{2}$，2]．

Answer 1

分析 根据条件先判断函数F（x）的奇偶性，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：∵F（x）=f（x）+f（-x），
∴F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x），
则函数F（x）是偶函数，
若[-1，-$\frac{1}{2}$]是函数F（x）的一个单调递增区间，
则[$\frac{1}{2}$，1]是函数F（x）的一个单调递减区间，
将函数 F（x）的图象向右平移1个单位，此时函数的一个单调递减区间为[$\frac{3}{2}$，2]，
故答案为：[$\frac{3}{2}$，2]．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合函数图象的平移关系是解决本题的关键．