Question

4．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ ．
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，证明：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n（n=1，2，3，…），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1，由此能证明数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$，利用错位相减法能求出S_n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：∵在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}+1$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1，
设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，b₁=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=1，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=n•2^n-1．
（2）解：∵${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$，
∴S_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∵a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n（n=1，2，3，…），
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}{S}_{n-1}$=$\frac{1}{2}（n-2）•{2}^{n-1}+\frac{1}{2}$，n≥2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}（n-2）•{2}^{n-1}+\frac{1}{2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．