Question

19．已知关于x的函数f（x）=ax²-4x+2．
（1）若集合{x|f（x）=0}只有一个元素，求a的值；
（2）a＞0时，记x∈[1，+∞）时f（x）的最小值为m，都有m＜6，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用集合{x|f（x）=0}只有一个元素，求a的值；
（2）分类讨论，求出x∈[1，+∞）时f（x）的最小值m，利用m＜6，求a的范围．

解答 解：（1）a=0，-4x+2=0，∴x=$\frac{1}{2}$，满足题意；
a≠0，△=16-8a=0，∴a=2，x=1，满足题意；
∴a=0或2；
（2）f（x）=ax²-4x+2=a（x-$\frac{2}{a}$）²-$\frac{4}{a}$+2，
∵a＞0，当$\frac{2}{a}$≥1，即0＜a≤2时，f（x）的最小值为m=-$\frac{4}{a}$+2＜6，∴a＞-1，∴0＜a≤2；
当$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2时，f（x）的最小值为m=a-2＜6，∴a＜8，∴2＜a＜8，
综上，0＜a＜8．

点评 本题考查集合的表示，考查二次函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．