Question

9．已知函数f（x）的定义域为（-1，1），同时满足下列条件：①f（x）是奇函数；②f（x）在定义域上单调递减，当f（2a）+f（1+a）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：由f（2a）+f（1+a）＜0得f（2a）＜-f（1+a），
∵f（x）是奇函数，
∴f（2a）＜-f（1+a）=f（-a-1），
∵f（x）的定义域为（-1，1），在定义域上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜2a＜1}\\{-1＜a+1＜1}\\{2a＞-a-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜\frac{1}{2}}\\{-2＜a＜0}\\{a＞-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
即-$\frac{1}{3}$＜a＜0，
即实数a的取值范围是-$\frac{1}{3}$＜a＜0．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．