Question

4．已知函数y=x⁴-2x²+5的定义域为[0，a]，求函数的值域．

Answer 1

分析 利用换元法设t=x²，则函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：设t=x²，∵定义域为[0，a]，
∴0≤t≤a²，
则函数等价为y=f（t）=t²-2t+5=（t-1）²+4，0≤t≤a²，
对称轴为t=1，
若a²≤1，即0≤a≤1，此时函数在[0，a²]上为减函数，
则最大值为f（0）=5，最小值为f（a²）=a⁴-2a²+5，此时值域为[a⁴-2a²+5，5]，
若1≤a²≤2，即0≤a≤$\sqrt{2}$，时，当t=1时，函数取得最小值f（1）=4，最大值为f（0）=5，此时值域为[4，5]，
若a²＞2，即a＞$\sqrt{2}$时，当t=1时，函数取得最小值f（1）=4，最大值为f（a²）=a⁴-2a²+5，此时值域为[4，a⁴-2a²+5]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法将函数转化为一元二次函数是解决本题的关键．