Question

19．已知在△ABC中．向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为$\frac{π}{6}$，|$\overrightarrow{AC}$|=2，则|$\overrightarrow{AB}$|的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 由题意可得∠B=$\frac{5π}{6}$，0＜∠C＜$\frac{π}{6}$，sin∠C∈（0，$\frac{1}{2}$）．再利用正弦定理求得AB=4sin∠C，可得|$\overrightarrow{AB}$|的取值范围．

解答 解：△ABC中．向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为$\frac{π}{6}$，可得∠B=$\frac{5π}{6}$，∴0＜∠C＜$\frac{π}{6}$，sin∠C∈（0，$\frac{1}{2}$）．
又|$\overrightarrow{AC}$|=2，利用正弦定理可得$\frac{AB}{sin∠C}$=$\frac{AC}{sin∠B}$=$\frac{2}{sin\frac{5π}{6}}$，求得AB=4sin∠C∈（0，2），即|$\overrightarrow{AB}$|的取值范围为（0，2），
故答案为：（0，2）．

点评 本题主要考查两个向量夹角，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．