Question

9．一箱子中有若干个大小形状完全相同的球，球的颜色有四种，分别是红色、黄色、蓝色、白色．从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回，这样的一个过程称为摸一次球．现在已知摸一次球摸到的是红球的概率为$\frac{2}{5}$．连续摸三次球，红、黄、蓝三种颜色的球都被摸到的概率为$\frac{2}{15}$，红、黄、蓝三种颜色的球都没有被摸到的概率为$\frac{1}{10}$，且黄球被摸到的概率大于蓝球被摸到的概率．
（Ⅰ）求摸一次球时，摸到的球是黄球和蓝球的概率；
（Ⅱ）连续摸三次球，摸出的球的颜色是红、黄、蓝色球的总的个数记为X，求X的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）摸一次球时，摸到的球分别是黄球和蓝球的概率分别为x，y，依题意列出方程组，由此能求出摸到的球分别是黄球和蓝球的概率．
（Ⅱ）依题意X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）摸一次球时，摸到的球分别是黄球和蓝球的概率分别为x，y，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{5}xy=\frac{2}{15}\\ \frac{3}{5}（1-x）（1-y）=\frac{1}{10}\end{array}\right.$
因为x＞y，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
所以摸到的球分别是黄球和蓝球的概率分别为$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）依题意X=0，1，2，3，
因为$P（X=0）=\frac{1}{10}$；$P（X=3）=\frac{2}{15}$；
$P（X=1）=\frac{2}{5}（1-\frac{2}{3}）（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{2}{5}）（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}+（1-\frac{2}{5}）×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{11}{30}$；
$P（X=2）=1-[P（x=0）+P（x=1）+P（x=3）]=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$
故所求X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{11}{30}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{15}$

所以$EX=0•\frac{1}{10}+1•\frac{11}{30}+2•\frac{2}{5}+3•\frac{2}{15}=\frac{37}{30}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．