Question

20．已知正项数列{a_n}满足a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$=2S_n，则数列通项公式a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

Answer 1

分析 由已知条件令n=1，先求出S₁=a₁=1，再由a_n=S_n-S_n-1，n≥2，得${{S}_{n}}^{2}-{{S}_{n-1}}^{2}$=1，由此能求出数列通项公式．

解答 解：∵正项数列{a_n}满足a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$=2S_n，
∴n=1时，a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$=2S₁=2a₁，解得S₁=a₁=1，或a₁=-1（舍），
∵a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$=2S_n，∴${{a}_{n}}^{2}+1=2{S}_{n}•{a}_{n}$，
∵a_n=S_n-S_n-1，n≥2，∴（S_n-S_n-1）²+1=2S_n（S_n-S_n-1），
整理，得${{S}_{n}}^{2}-{{S}_{n-1}}^{2}$=1，
∴{${{S}_{n}}^{2}$}是等差数列，且公差为1首项为1，
∴${{S}_{n}}^{2}$=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=$\sqrt{n}$．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，n=1时也成立，
∴a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
故答案为：$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的灵活运用．