Question

5．如果函数y=f（x）（x∈D）满足：
（1）f（x）在D上是单调函数；
（2）存在闭区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]的值域也是[a，b]，那么就称函数y=f（x）为闭函数，试判断函数y=x²+2x，x∈[-1，+∞）是否为闭函数，如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]，如果不是闭函数，请说明理由．

Answer 1

分析 根据一元二次函数的单调性，结合闭函数的性质建立方程组进行求解即可．

解答 解：y=x²+2x的对称轴为x=-1，则x∈[-1，+∞）上函数为增函数，
若函数为闭函数，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
即a，b是方程f（x）=x的两个不同的根，
由y=x²+2x=x得x²+x=0，解得x=0或x=-1，
即a=-1，b=0，
则符合条件的闭区间为[-1，0]．

点评 本题考查了新定义型函数的理解和运用能力，函数单调性的应用，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．