Question

13．求值域．
（1）y=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x≥3}\\{-2x-1，x≤0}\end{array}\right.$．
（2）y=$\frac{2{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}+x+1}$．

Answer 1

分析 （1）根据分段函数的表达式进行求解即可．
（2）利用判别式△法进行求解即可．

解答 解：（1）当x≥3时，y=x-2≥3-2=1，
当x≤0时，y=-2x-1≥-1，
综上y≥-1，
即函数的值域为[1，+∞）．
（2）∵x²+x+1＞0恒成立，
∴函数的定义域为（-∞，+∞），
由y=$\frac{2{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}+x+1}$得（x²+x+1）y=2x²+2x+3，
即（2-y）x²+（2-y）x+3-y=0，
若y=2，在方程等价为3-2=0，即1=0，则方程不成立，
∴y≠2，
则由判别式△≥0得（2-y）²-4（2-y）（3-y）=（2-y）[2-y-4（3+y）]≥0，
即（y-2）（5y+10）≤0，
解得-2≤y≤2，
∵y≠2，
∴-2≤y＜2，
即函数的值域为[-2，2）．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用判别式法和函数的单调性法是解决本题的关键．